1.3. Обратная задача кинематики

1.4. Тангенциальное и нормальное ускорения

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Произвольное плоское движение твердого тела. Три независимые координаты. Скорости точек тела при плоском движении. Угловая скорость вращения фигуры. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорения.

презентация , добавлен 24.10.2013


Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

презентация , добавлен 13.02.2016


Задание движения точки. Годограф радиуса-вектора. Уравнение движения точки. Векторный, естественный, координатный способы. Поступательное, вращательное, плоскопараллельное движение тела. Скорости точек при движении тела. Мгновенный центр скоростей.

презентация , добавлен 09.11.2013


Решение задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. Определение кинетической энергии системы, работы сил, скорости в конечный момент времени. Кинематический анализ многозвенного механизма.

контрольная работа , добавлен 23.11.2009


Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.

шпаргалка , добавлен 02.12.2014


Основные понятия кинематики. Механическая система и материальная точка. Понятие абсолютного твердого тела. Поступательное и вращательное движение. Понятие средней и мгновенной скорости. Компоненты и проекции скорости. Кинематический закон движения.

презентация , добавлен 14.08.2013


Основы движения твердого тела. Сущность и законы, описывающие характер его поступательного перемещения. Описание вращения твердого тела вокруг неподвижной оси посредством формул. Особенности и базовые кинематические характеристики вращательного движения.

Глава 2 Кинематика твердого тела § 1. Поступательное движение твердого тела § 2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси 2.1. Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела § 3. Плоско-параллельное движение твердого тела (ППД) 3.1. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Угловая скорость и угловое ускорение 3.2. Определение траекторий и скоростей точек плоской фигуры 3.3. Теорема о проекциях скоростей 3.4. Мгновенный центр скоростей (МЦС) 3.5. Частные случаи определения МЦС 3.6. Определение ускорений точек при ППД § 4. Сферическое движение твердого тела § 1. Поступательное движение твердого тела § 2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси 2.1. Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела § 3. Плоско-параллельное движение твердого тела (ППД) 3.1. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Угловая скорость и угловое ускорение 3.2. Определение траекторий и скоростей точек плоской фигуры 3.3. Теорема о проекциях скоростей 3.4. Мгновенный центр скоростей (МЦС) 3.5. Частные случаи определения МЦС 3.6. Определение ускорений точек при ППД § 4. Сферическое движение твердого тела




Кинематика твердого тела указать способ определения положения каждой точки в каждый момент времени Задать движение твердого тела – значит, указать способ определения положения каждой точки в каждый момент времени Задать движение твердого тела – значит, у уу указать способ определения положения каждой точки в каждый момент времени Число независимых параметров, определяющих положение точки тела или системы тел, называется числом степеней свободы точки, твердого тела или системы тел Число независимых параметров, определяющих положение точки тела или системы тел, называется числом степеней свободы точки, твердого тела или системы тел Задание движения твердого тела и определение кинематических характеристик тела в целом Определение кинематических характеристик точек тела З адание движения твердого тела и определение кинематических характеристик тела в целом О пределение кинематических характеристик точек тела Две основные задачи кинематики твердого тела Две основные задачи кинематики твердого тела





Виды движения твердого тела Поступательное движение Вращательное движение Плоско-параллельное движение Сферическое движение Общий случай движения твердого тела П оступательное движение В ращательное движение П лоско-параллельное движение С ферическое движение О бщий случай движения твердого тела





§ 1. Поступательное движение твердого тела Тело совершает поступательное движение, если любая прямая, проведенная в теле во все время движения, остается параллельной своему первоначальному положению Тело совершает поступательное движение, если любая прямая, проведенная в теле во все время движения, остается параллельной своему первоначальному положению





Теорема, определяющая свойства поступательного движения При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и имеют в любой момент времени одинаковые по величине и по направлению скорости и ускорения При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и имеют в любой момент времени одинаковые по величине и по направлению скорости и ускорения























0








Скоростью поступательного движенияускорением поступательного движения При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения, а ускорение – ускорением поступательного движения При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют с сс скоростью поступательного движения, а ускорение – у уу ускорением поступательного движения Скорости и ускорения точек движущегося тела образуют векторные поля, однородные, но не стационарные Скорости и ускорения точек движущегося тела образуют векторные поля, однородные, но не стационарные





§ 2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси Движение твердого тела с двумя неподвижными точками называется вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси Движение твердого тела с двумя неподвижными точками называется в вв вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси осью вращения Прямая, точки которой остаются неподвижными, называется осью вращения Прямая, точки которой остаются неподвижными, называется о оо осью вращения При вращении твердого тела все точки тела описывают окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения и с центрами на ней При вращении твердого тела все точки тела описывают окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения и с центрами на ней





Положение тела однозначно определяется, если задан угол поворота φ = φ(t) Положение тела однозначно определяется, если задан угол поворота φ = φ(t) Определим положение вращающегося тела П2П2 П2П2 П1П1 П1П1 φ φ k k – единичный вектор, направленный по оси вращения – единичный вектор, направленный по оси вращения k k Будем считать, что угол φ возрастает, если с конца положительного направления оси вращения видим вращение тела происходящим против хода часовой стрелки Будем считать, что угол φ возрастает, если с конца положительного направления оси вращения видим вращение тела происходящим против хода часовой стрелки φ = φ(t) – уравнение движения твердого тела при его повороте вокруг оси φ = φ(t) – уравнение движения твердого тела при его повороте вокруг оси В СИ [φ] = рад, оборотах В СИ [φ] = рад, оборотах





K k φ φ Среднюю угловую скорость тела определяют Среднюю угловую скорость тела определяют Определим угловую скорость твердого тела П2П2 П2П2 П1П1 П1П1 Мгновенная угловая скорость – векторная величина, равная по модулю Мгновенная угловая скорость – векторная величина, равная по модулю по направлению – вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки по направлению – вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки ω ω











Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости Определим угловое ускорение твердого тела П2П2 П2П2 П1П1 П1П1 k k φ φ Мгновенное угловое ускорение Мгновенное угловое ускорение Если ε совпадает с ω, то движение ускоренное, если ε противоположно ω – движение замедленное Если ε совпадает с ω, то движение ускоренное, если ε противоположно ω – движение замедленное В системе СИ [ε] = рад/с 2, с -2 В системе СИ [ε] = рад/с 2, с -2 ω ω ε ε











Равнопеременное вращение Если ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение равноускоренное, если разные – равнозамедленное Если ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение равноускоренное, если разные – равнозамедленное Если Если то вращение называется равнопеременным то вращение называется равнопеременным Закон равнопеременного вращения твердого тела Закон равнопеременного вращения твердого тела проинтегрируем еще раз, т.к. проинтегрируем еще раз, т.к.,





За dt точка М совершает вдоль траектории элементарное перемещение ds За dt точка М совершает вдоль траектории элементарное перемещение ds Скорости точек вращающегося твердого тела П2П2 П2П2 П1П1 П1П1 Мгновенная скорость точки М по величине Мгновенная скорость точки М по величине по направлению – по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и точку М по направлению – по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и точку М h h М М V V Δφ











V V Вспомним, что Вспомним, что Ускорения точек вращающегося твердого тела μ μ Здесь Здесь Полное ускорение Полное ускорение и и и и C C ω ω μ – угол отклонения вектора ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой μ – угол отклонения вектора ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой





α α ε ε Поле ускорений точек вращающегося тела Поле ускорений точек вращающегося тела Формулы (1) – (5) позволяют определить скорость и ускорение любой точки вращающегося тела, если известен закон движения и расстояние данной точки от оси вращения Формулы (1) – (5) позволяют определить скорость и ускорение любой точки вращающегося тела, если известен закон движения и расстояние данной точки от оси вращения И наоборот, зная движение одной точки вращающегося тела, можно найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом И наоборот, зная движение одной точки вращающегося тела, можно найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом





Леонард Эйлер (1707 – 1783) показал, что скорость вращающейся точки тела можно определить из векторного произведения угловой скорости и радиуса-вектора этой точки. Леонард Эйлер (1707 – 1783) показал, что скорость вращающейся точки тела можно определить из векторного произведения угловой скорости и радиуса-вектора этой точки. В 19 лет он приехал в Россию, где в 26 лет стал академиком Российской Академии Наук, прожив 15 лет, уехал в Германию. В 19 лет он приехал в Россию, где в 26 лет стал академиком Российской Академии Наук, прожив 15 лет, уехал в Германию. Вернулся опять в Россию при Екатерине II и создал великую русскую школу математиков Вернулся опять в Россию при Екатерине II и создал великую русскую школу математиков











§ 3. Плоско-параллельное движение твердого тела Плоско-параллельным (или плоским) движением (ППД) твердого тела называется такое, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости Плоско-параллельным (или плоским) движением (ППД) твердого тела называется такое, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости Как частный случай ППД можно рассматривать вращательное движение твёрдого тела вокруг оси; Как частный случай ППД можно рассматривать вращательное движение твёрдого тела вокруг оси; катящиеся колеса по прямолинейному участку пути; катящиеся колеса по прямолинейному участку пути; движение шатуна в кривошипно-шатунном механизме движение шатуна в кривошипно-шатунном механизме





Скорости и ускорения, т.к. эта прямая движется поступательно, оставаясь всегда к плоскости П 1 скорости и ускорения, т.к. эта прямая движется поступательно, оставаясь всегда к плоскости П 1 При ППД все точки тела, лежащие на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости П 1, имеют одинаковые траектории, При ППД все точки тела, лежащие на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости П 1, имеют одинаковые траектории, П1П1 П1П1 Достаточно исследовать движение точек этого тела, лежащих в какой- либо плоскости, || неподвижной П 1 Достаточно исследовать движение точек этого тела, лежащих в какой- либо плоскости, || неподвижной П 1 Другими словами, достаточно исследовать движение плоской фигуры, образуемой сечением тела плоскостью П 2 Другими словами, достаточно исследовать движение плоской фигуры, образуемой сечением тела плоскостью П 2 П2П2 П2П2





Положение фигуры в плоскости П 2 по отношению к неподвижной системе координат ОХУ определяется положением какого-либо отрезка СД, принадлежащим фигуре Положение фигуры в плоскости П 2 по отношению к неподвижной системе координат ОХУ определяется положением какого-либо отрезка СД, принадлежащим фигуре Тогда достаточно исследовать движение точек этого отрезка. Пусть точка С – полюс Тогда достаточно исследовать движение точек этого отрезка. Пусть точка С – полюс (1) - уравнения плоско- параллельного движения твердого тела (1) - уравнения плоско- параллельного движения твердого тела П2П2 П2П2 Х Х У У О О С С Д Д Х Х Y Y φ φ





Δφ 2 Δφ 1 Теорема. Всякое конечное перемещение плоской фигуры в её плоскости может быть составлено из поступательного перемещения вместе с полюсом и вращательного перемещения вокруг полюса Теорема. Всякое конечное перемещение плоской фигуры в её плоскости может быть составлено из поступательного перемещения вместе с полюсом и вращательного перемещения вокруг полюса 3.1. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Угловая скорость и угловое ускорение 3.1. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Угловая скорость и угловое ускорение 1) С – полюс, тогда СД>СД 1 ͡ СД 1) С – полюс, тогда СД>СД 1 ͡ СД 2) Д – полюс. тогда СД>С 1 Д ͡ СД 2) Д – полюс. тогда СД>С 1 Д ͡ СД t 1 =t t 1 =t С С Д Д С С Д Д Д1Д1 Д1Д1 С1С1 С1С1 t 2 =t+Δt t 2 =t+Δt Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, вращательное не зависит от выбора полюса Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, вращательное не зависит от выбора полюса СД 1 ͡ СД 1) С – полюс, тогда СД>СД 1 ͡ СД 2) Д – полюс. тогда СД>С 1 Д ͡ СД 2) Д – полюс. тогда СД>С 1 Д ͡ СД t 1 =t t 1 =t С С Д Д С С Д Д Д1Д1 Д1Д1 С1С1 С1С1 t 2 =t+Δt t 2 =t+Δt Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, вращательное не зависит от выбора полюса Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, вращательное не зависит от выбора полюса">





Для характеристики вращательного движения вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, введем понятия угловой скорости ω и углового ускорения ε плоской фигуры Для характеристики вращательного движения вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, введем понятия угловой скорости ω и углового ускорения ε плоской фигуры Анализируя (1), имеем, что движение плоской фигуры в её плоскости можно представить как совокупность двух движений: поступательного вместе с точкой, выбранной за полюс, и вращательного вокруг этого полюса Анализируя (1), имеем, что движение плоской фигуры в её плоскости можно представить как совокупность двух движений: поступательного вместе с точкой, выбранной за полюс, и вращательного вокруг этого полюса ω и ε не зависят от выбора полюса, т.к. Δφ не зависит от выбора полюса ω и ε не зависят от выбора полюса, т.к. Δφ не зависит от выбора полюса Угловая скорость и угловое ускорение – векторы Угловая скорость и угловое ускорение – векторы





А – полюс; М – произвольная точка плоской фигуры; А – полюс; М – произвольная точка плоской фигуры; 3.2. Определение траекторий и скоростей точек плоской фигуры 3.2. Определение траекторий и скоростей точек плоской фигуры AXY – подвижная система координат, движется поступательно AXY – подвижная система координат, движется поступательно - уравнения траектории точки М в параметри- ческом виде - уравнения траектории точки М в параметри- ческом виде Х Х У У О О Х Х Y Y φ φ А А М М ρ ρ rMrM rMrM rArA rArA Исключив время, получим обычное уравнение траектории Исключив время, получим обычное уравнение траектории (2)





Скорости точек плоской фигуры Скорости точек плоской фигуры (4) (4) Скорость любой точки М плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей какой-либо т.А, принятой за полюс, и скорости т.М при её вращении вместе с телом вокруг полюса А. Скорость любой точки М плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей какой-либо т.А, принятой за полюс, и скорости т.М при её вращении вместе с телом вокруг полюса А. (3)





(5) (5) Вращательная скорость V MA определяется численно и по направлению так же, как если бы тело совершало вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоской фигуре Вращательная скорость V MA определяется численно и по направлению так же, как если бы тело совершало вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоской фигуре М М А А VAVA VAVA VAVA VAVA V MA ω ω VMVM VMVM





(6) (6) 3.3. Теорема о проекциях скоростей 3.3. Теорема о проекциях скоростей Найдем скорость точки В. Пусть точка А – полюс Найдем скорость точки В. Пусть точка А – полюс β β 0 0 В В А А VAVA VAVA VВAVВA VВAVВA ω ω VВVВ VВVВ Х Х VAVA VAVA α α При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой











3.4. Мгновенный центр скоростей (мцс) Мгновенный центр скоростей (мцс) – это такая точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. (·)Р: V P = 0 Мгновенный центр скоростей (мцс) – это такая точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. (·)Р: V P = 0 Теорема (без доказательства) При непоступательном движении плоской фигуры такая точка (мцс) существует и единственна Теорема (без доказательства) При непоступательном движении плоской фигуры такая точка (мцс) существует и единственна Выберем мцс за полюс (·)P Выберем мцс за полюс (·)P 0 0





Теорема Скорости всех точек при плоском движении фигуры можно определять точно так же, как при вращательном движении Скорости всех точек при плоском движении фигуры можно определять точно так же, как при вращательном движении Роль неподвижной оси выполняет мгновенная ось, проходящая через мцс перпендикулярно плоскости движения Роль неподвижной оси выполняет мгновенная ось, проходящая через мцс перпендикулярно плоскости движения VMVM VMVM M M Д Д VКVК VКVК VДVД VДVД Р Р ω ω К К....,=>,=>,=>,=>, ,=>,=>,=>,">





Выводы 1. Для определения мцс надо знать только направление скоростей двух каких-нибудь точек плоской фигуры (или траектории этих точек) 1. Для определения мцс надо знать только направление скоростей двух каких-нибудь точек плоской фигуры (или траектории этих точек) МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям (или касательным к траекториям) МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям (или касательным к траекториям) Находят мцс (т. Р), затем величину скорости из формулы Находят мцс (т. Р), затем величину скорости из формулы 2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой 2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой, направление – в сторону, направление – в сторону поворота фигуры. Причём





3. Угловая скорость плоской фигуры в каждый момент времени равна отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к её расстоянию от мцс 3. Угловая скорость плоской фигуры в каждый момент времени равна отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к её расстоянию от мцс или или т.к. т.к.





3.5. Частные случаи определения МЦС 1. Интуитивный 1. Интуитивный Точка соприкосновения неподвижной поверхности и катящегося без скольжения диска есть мцс Точка соприкосновения неподвижной поверхности и катящегося без скольжения диска есть мцс Колесо с закрепленным центром Колесо с закрепленным центром 2. Из построения 2. Из построения P P О О А А VAVA VAVA VKVK VKVK K K





(·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II" title="(·)Р – МЦС (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II" class="link_thumb"> 41 (·)Р – МЦС (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II колеса R 2 - радиус II колеса P P О О А А VAVA VAVA VKVK VKVK K K II II I I (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II"> (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II колеса R 2 - радиус II колеса P P О О А А VAVA VAVA VKVK VKVK K K II II I I"> (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II" title="(·)Р – МЦС (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II"> title="(·)Р – МЦС (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => (·)А и (·)К принадлежат II колесу, => Свойство пропорции Свойство пропорции Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения Если V A || V K и АК V A, то мцс находят из построения R 2 - радиус II">




3. Случай мгновенно поступательного движения 4. Если известна скорость какой- либо (·)В и угловая скорость тела, то мцс лежит на к V В на расстоянии ВР 4. Если известна скорость какой- либо (·)В и угловая скорость тела, то мцс лежит на к V В на расстоянии ВР Если V A || V B, но АВ V A, то мцс в бесконечности А А В В
Пример. Два колеса соединены водилом ОА. I-е колесо вращается с угловой скоростью ω I относительно неподвижного шарнира О. Водило ОА имеет ω ОА, причем вращение в другую сторону. Найти ускорение II- го колеса, зная R I, R II, ω I, ω ОА, ε I, ε ОА P P О О А А VAVA VAVA VKVK VKVK K K





45





47





Х Y Z Линия ОК – линия узлов. Х1Х1 Y1Y1 Z1Z1 O а) Уравнения движения: К Положение тела отн-но неподви-жных осей ОX 1 Y 1 Z 1 можно определить углами Эйлера: - угол собственного вращения - угол прецессии - угол нутации - уравнения сферич. дв-ния тв. тела





Z Линия ОК – линия узлов. б) угловая скорость тела: К - собственное вращение вокруг оси z - вращение вокруг оси Z 1 (прецессия) изменяется как по величине так и по направлению, т.к. меняются все три вектора угловых скоростей - называют мгновенной угловой скоростью тела Z1Z1 O - вращение вокруг линии узлов ОК (нутация) Р





Z Элементарное перемещение dΘ за время dt – элементарный поворот вокруг оси ОР, вдоль кот. направлен вектор в) движение тела: К Дв-ние складывается из ряда последователь-ных элемент. поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через т.О ОР называют мгновенной осью вращения, её напр-ние постоянно меняется со временем Z1Z1 O Р O Р Р1Р1 Р2Р2





Г) угловое ускорение тела: Направление ε совпадает с касательной к кривой АD в соответствующей точке АD – годограф вектора Векторная величина, характеризующая изменение с течением времени угловой скорости по модулю и по направлению – мгновенное угловое ускорение тела O Р Р1Р1 Р2Р2 D А Векторы и - основные кинематические характеристики сферического движения тела





Вектор от т.О до т.М, - вектор мгн. угловой ск-ти тела д) линейные скорости точек тв. тела: пл-ти МОР в сторону поворота тела Направлен Скорость какой-нибудь т.М тела - O h Р где - расстояние от т.М до мгновенной оси вращения, где - радиус- х y z х1х1 y1y1 z М С O Р А В М











Пример: Подвижный конус катится без проскальзывания по неподвижному так, что угл. ск-ть вращения оси ОС вокруг оси Z неподв. конуса постоянна и равна ω1. Чему равна мгновенная угловая скорость тела, если известны углы и радиус основания R O ω1ω1 R Z z α β r P C M N
56














































































































































































































1 из 68

Презентация на тему: Вращательные движение твердого тела

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

Вращательным движением твёрдого тела или системы тел называется такое движение, при котором все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения. Вращательным движением твёрдого тела или системы тел называется такое движение, при котором все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами и в зависимости от выбора системы отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое вращение трёхмерного пространства имеет ось.

№ слайда 3

Описание слайда:

Кинематика вращательного движения……………………….…….4 Кинематика вращательного движения……………………….…….4 Динамика вращательного движения……………………………….13 Основное уравнение динамики вращательного движения……14 Динамика произвольного движения………………………………..……….26 Законы сохранения …………………………………………………….....30 Закон сохранения момента импульса…………………………………….31 Кинетическая энергия вращающегося тела…………………………….52 Закон сохранения энергии………………………….………………………….…57 Заключение…………………………………………………………………..…..61 Использованные информационные материалы..…………...66

№ слайда 4

Описание слайда:

№ слайда 5

Описание слайда:

№ слайда 6

Описание слайда:

№ слайда 7

Описание слайда:

№ слайда 8

Описание слайда:

№ слайда 9

Описание слайда:

№ слайда 10

Описание слайда:

Пример: плоскопараллельное движение колеса без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Качение колеса можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Пример: плоскопараллельное движение колеса без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Качение колеса можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс.

№ слайда 11

Описание слайда:

Методом последовательной съёмки запечатлена кинематика движения Дворцового моста в Санкт-Петербурге. Выдержка 6 секунд. Какую информацию о движении моста можно извлечь из фотографии? Проанализируйте кинематику его движения. Методом последовательной съёмки запечатлена кинематика движения Дворцового моста в Санкт-Петербурге. Выдержка 6 секунд. Какую информацию о движении моста можно извлечь из фотографии? Проанализируйте кинематику его движения.

№ слайда 12

Описание слайда:

Кикоин А.К. Формулы кинематики для вращательного движения. «Квант», 1983, № 11. Кикоин А.К. Формулы кинематики для вращательного движения. «Квант», 1983, № 11. Фистуль М. Кинематика плоскопараллельного движения. «Квант», 1990, № 9 Черноуцан А.И. Когда вокруг всё вертится... «Квант», 1992, № 9. Чивилёв В., Движение по окружности: равномерное и неравномерное. «Квант», 1994, №6. Чивилёв В.И. Кинематика вращательного движения. «Квант», 1986, № 11.

№ слайда 13

Описание слайда:

№ слайда 14

Описание слайда:

№ слайда 15

Описание слайда:

Динамика поступательного движения материальной точки оперирует такими понятиями, как сила, масса, импульс. Динамика поступательного движения материальной точки оперирует такими понятиями, как сила, масса, импульс. Ускорение поступательно движущегося тела зависит от действующей на тело силы (суммы действующих сил) и массы тела (второй закон Ньютона):

№ слайда 16

Описание слайда:

№ слайда 17

Описание слайда:

Устройство и принцип действия прибора Устройство и принцип действия прибора Исследование зависимости углового ускорения вращения диска от момента действующей силы: от величины действующей силы F при неизменном значении плеча силы относительно данной оси вращения d (d = const); от плеча силы относительно данной оси вращения при постоянной действующей силе (F = const); от суммы моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси вращения. Исследование зависимости углового ускорения от свойств вращающегося тела: от массы вращающегося тела при неизменном моменте сил; от распределения массы относительно оси вращения при неизменном моменте сил. Результаты опытов:

№ слайда 18

Описание слайда:

Принципиальная разница: масса является инвариантом и не зависит от того, как тело движется. Момент инерции изменяется при изменении положения оси вращения или её направления в пространстве. Принципиальная разница: масса является инвариантом и не зависит от того, как тело движется. Момент инерции изменяется при изменении положения оси вращения или её направления в пространстве.

№ слайда 19

Описание слайда:

№ слайда 20

Описание слайда:

№ слайда 21

Описание слайда:

Теорема о переносе осей инерции (Штейнера): момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси I равен сумме момента инерции этого тела I0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: Теорема о переносе осей инерции (Штейнера): момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси I равен сумме момента инерции этого тела I0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

№ слайда 22

Описание слайда:

Как отличаются моменты инерции кубов относительно осей ОО и О’О’ ? Как отличаются моменты инерции кубов относительно осей ОО и О’О’ ? Сравните угловые ускорения двух тел, изображённых на рисунке, при одинаковом действии на них моментов внешних сил.

№ слайда 23

Описание слайда:

Задача: По гладкой наклонной плоскости скатываются шар и сплошной цилиндр одинаковой массы. Какое из этих тел Задача: По гладкой наклонной плоскости скатываются шар и сплошной цилиндр одинаковой массы. Какое из этих тел скатится быстрее? Замечание: Уравнение динамики вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением, при условии, что она проходит через центр масс тела и её направление в пространстве остаётся неизменным.

№ слайда 24

Описание слайда:

Задача о качении симметричного тела по наклонной плоскости. Задача о качении симметричного тела по наклонной плоскости. Относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела, моменты сил тяжести и реакции опоры равны нулю, момент силы трения равен M = Fтрr. Составьте систему уравнений, применив: основное уравнение динамики вращательного движения для скатывающегося тела; второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс.

№ слайда 25

Описание слайда:

Момент инерции шара и сплошного цилиндра соответственно равны Момент инерции шара и сплошного цилиндра соответственно равны Уравнение вращательного движения: Уравнение второго закона Ньютона для поступательного движения центра масс Ускорение шара и цилиндра при скатывании с наклонной плоскости соответственно равны: aш > aц, следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра. Обобщая полученный результат на случай скатывания симметричных тел с наклонной плоскости, получим, что быстрее будет скатываться тело, обладающее меньшим моментом инерции.

№ слайда 26

Описание слайда:

№ слайда 27

Описание слайда:

Произвольное движение твёрдого тела можно разложить на поступательное движение, в котором все точки тела движутся со скоростью центра масс тела, и вращение вокруг центра масс. Произвольное движение твёрдого тела можно разложить на поступательное движение, в котором все точки тела движутся со скоростью центра масс тела, и вращение вокруг центра масс.

№ слайда 28

Описание слайда:

Режим последовательной съёмки позволяет проиллюстрировать теорему о движении центра масс системы: при спуске затвора за одну секунду можно запечатлеть несколько изображений. При объединении такой серии спортсмены, выполняющие трюки, и животные в движении превращаются в плотную очередь близнецов. Режим последовательной съёмки позволяет проиллюстрировать теорему о движении центра масс системы: при спуске затвора за одну секунду можно запечатлеть несколько изображений. При объединении такой серии спортсмены, выполняющие трюки, и животные в движении превращаются в плотную очередь близнецов.

№ слайда 29

Описание слайда:

№ слайда 30

Описание слайда:

№ слайда 31

Описание слайда:

№ слайда 32

Описание слайда:

№ слайда 33

Описание слайда:

Закон сохранения момента импульса - один из важнейших фундаментальных законов природы - является следствием изотропности пространства (симметрии относительно поворотов в пространстве). Закон сохранения момента импульса - один из важнейших фундаментальных законов природы - является следствием изотропности пространства (симметрии относительно поворотов в пространстве). Закон сохранения момента импульса не является следствием законов Ньютона. Предложенный подход к выводу закона носит частный характер. При сходной алгебраической форме записи законы сохранения импульса и момента импульса в применении к одному телу имеют разный смысл: в отличие от скорости поступательного движения угловая скорость вращения тела может меняться за счёт изменения момента инерции тела I внутренними силами. Закон сохранения момента импульса выполняется для любых физических систем и процессов, не только механических.

№ слайда 34

Описание слайда:

Момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если результирующий момент внешних сил, действующих на неё, равен нулю. Момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если результирующий момент внешних сил, действующих на неё, равен нулю. Следствия из закона сохранения момента импульса в случае изменения скорости вращения одной части системы другая также изменит скорость вращения, но в противоположную сторону таким образом, что момент импульса системы не изменится; если момент инерции замкнутой системы в процессе вращения изменяется, то изменяется и её угловая скорость таким образом, что момент импульса системы останется тем же самым в случае, когда сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю, момент импульса системы относительно этой же оси остается постоянным. Экспериментальная проверка. Опыты со скамьёй Жуковского Границы применимости. Закон сохранения момента импульса выполняется в инерциальных системах отсчёта.

№ слайда 35

Описание слайда:

Скамья Жуковского состоит станины с опорным шариковым подшипником, в котором вращается круглая горизонтальная платформа. Скамья Жуковского состоит станины с опорным шариковым подшипником, в котором вращается круглая горизонтальная платформа. Скамью с человеком приводят во вращение, предложив ему развести руки с гантелями в стороны, а затем резко прижать их к груди.

№ слайда 36

Описание слайда:

№ слайда 37

Описание слайда:

Закон сохранения момента импульса выполняется, если: Закон сохранения момента импульса выполняется, если: сумма моментов внешних сил равна нулю (силы при этом могут не уравновешиваться); тело движется в центральном силовом поле (при отсутствии других внешних сил; относительно центра поля) Закон сохранения момента импульса применяют: когда характер изменения со временем сил взаимодействия между частями системы сложен или неизвестен; относительно одной и той же оси для всех моментов импульса и сил; как к полностью, так и частично изолированным системам.

№ слайда 38

Описание слайда:

Замечательной особенностью вращательного движения является свойство вращающихся тел при отсутствии взаимодействий с другими телами сохранять неизменными не только момент импульса, но и направление оси вращения в пространстве. Замечательной особенностью вращательного движения является свойство вращающихся тел при отсутствии взаимодействий с другими телами сохранять неизменными не только момент импульса, но и направление оси вращения в пространстве. Суточное вращение Земли. Гироскопы Вертолёт Цирковые аттракционы Балет Фигурное катание Гимнастика (сальто) Прыжки в воду Игровые виды спорта

№ слайда 39

Описание слайда:

Неизменным ориентиром для путешественников на поверхности Земли служит Полярная звезда в созвездии Большой Медведицы. Примерно на эту звезду направлена ось вращения Земли, и кажущаяся неподвижность Полярной звезды на протяжении столетий наглядно доказывает, что на протяжении этого времени направление оси вращения Земли в пространстве остается неизменным. Неизменным ориентиром для путешественников на поверхности Земли служит Полярная звезда в созвездии Большой Медведицы. Примерно на эту звезду направлена ось вращения Земли, и кажущаяся неподвижность Полярной звезды на протяжении столетий наглядно доказывает, что на протяжении этого времени направление оси вращения Земли в пространстве остается неизменным.

№ слайда 40

Описание слайда:

Гироскопом называется любое тяжелое симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью. Гироскопом называется любое тяжелое симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью. Примеры: велосипедное колесо; турбина гидростанции; пропеллер. Свойства свободного гироскопа: сохраняет положение оси вращения в пространстве; устойчив к ударным воздействиям; безынерционен; обладает необычной реакцией на действие внешней силы: если сила стремится повернуть гироскоп относительно одной оси, то он поворачивается вокруг другой, ей перпендикулярной – прецессирует. Имеет обширную область применений.

№ слайда 41

Описание слайда:

№ слайда 42

Описание слайда:

Многие особенности поведения вертолёта в воздухе диктуются гироскопическим эффектом. Тело, раскрученное по оси, стремится сохранить неизменным направление этой оси. Многие особенности поведения вертолёта в воздухе диктуются гироскопическим эффектом. Тело, раскрученное по оси, стремится сохранить неизменным направление этой оси. Гироскопическими свойствами обладают валы турбин, велосипедные колеса, и даже элементарные частицы, например, электроны в атоме.

№ слайда 43

Описание слайда:

№ слайда 44

Описание слайда:

Свойством угловой скорости вращения тела изменяться за счёт действия внутренних сил пользуются спортсмены и артисты балета: когда под действием внутренних сил человек изменяет позу, прижимая руки к туловищу или разводя их в стороны, он изменяет момент импульса своего тела, при этом момент импульса сохраняется как по величине, так и по направлению, поэтому угловая скорость вращения также меняется. Свойством угловой скорости вращения тела изменяться за счёт действия внутренних сил пользуются спортсмены и артисты балета: когда под действием внутренних сил человек изменяет позу, прижимая руки к туловищу или разводя их в стороны, он изменяет момент импульса своего тела, при этом момент импульса сохраняется как по величине, так и по направлению, поэтому угловая скорость вращения также меняется.

№ слайда 45

Описание слайда:

Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси, в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановить вращение и приступить к выполнению другого элемента. Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси, в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановить вращение и приступить к выполнению другого элемента.

№ слайда 46

Описание слайда:

Гимнаст, выполняющий сальто, в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, а угловая скорость уменьшается. Гимнаст, выполняющий сальто, в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, а угловая скорость уменьшается.

№ слайда 47

Описание слайда:

Толчок, испытываемый прыгуном в воду, в момент отрыва от гибкой доски, «закручивает» его, сообщая начальный запас момента импульса относительно центра масс. Толчок, испытываемый прыгуном в воду, в момент отрыва от гибкой доски, «закручивает» его, сообщая начальный запас момента импульса относительно центра масс. Перед входом в воду, совершив один или несколько оборотов с большой угловой скоростью, спортсмен вытягивает руки, увеличивая тем самым свой момент инерции и, следовательно, снижая свою угловую скорость.

№ слайда 48

Описание слайда:

Вращение устойчиво относительно главных осей инерции, совпадающих с осями симметрии тел. Вращение устойчиво относительно главных осей инерции, совпадающих с осями симметрии тел. Если в начальный момент угловая скорость немного отклоняется по направлению от оси, которой соответствует промежуточное значение момента инерции, то в дальнейшем угол отклонения стремительно нарастает, и вместо простого равномерного вращения вокруг неизменного направления тело начинает совершать беспорядочное на вид кувыркание.

№ слайда 49

Описание слайда:

Вращение играет важную роль в игровых видах спорта: теннисе, бильярде, бейсболе. Удивительный удар «сухой лист» в футболе характеризуется особой траекторией полёта вращающегося мяча из-за возникновения подъёмной силы в набегающем потоке воздуха (эффект Магнуса). Вращение играет важную роль в игровых видах спорта: теннисе, бильярде, бейсболе. Удивительный удар «сухой лист» в футболе характеризуется особой траекторией полёта вращающегося мяча из-за возникновения подъёмной силы в набегающем потоке воздуха (эффект Магнуса).

№ слайда 50

Описание слайда:

Космический телескоп Хаббл свободно плавает в пространстве. Как можно изменить его ориентацию так, чтобы нацелить на важные для астрономов объекты? Космический телескоп Хаббл свободно плавает в пространстве. Как можно изменить его ориентацию так, чтобы нацелить на важные для астрономов объекты?

№ слайда 51

Описание слайда:

Почему кошка при падении всегда приземляется на лапы? Почему кошка при падении всегда приземляется на лапы? Почему трудно удерживать равновесие на неподвижном двухколёсном велосипеде и совсем нетрудно, когда велосипед движется? Как поведёт себя кабина вертолёта, находящегося в полёте, если по каким-либо причинам хвостовой винт перестанет работать?

№ слайда 54

Описание слайда:

При плоском движении кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, и кинетической энергии поступательного движения центра масс: При плоском движении кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, и кинетической энергии поступательного движения центра масс: Это же тело может иметь еще и потенциальную энергию ЕP, если оно взаимодействует с другими телами. Тогда полная энергия равна:

№ слайда 55

Описание слайда:

№ слайда 56

Описание слайда:

Кинетическая энергия любой системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии всех материальных точек той же системы в их относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс. Кинетическая энергия любой системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии всех материальных точек той же системы в их относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Описание слайда:

Зависимость кинетической энергии вращения от момента инерции тел используют в инерционных аккумуляторах. Зависимость кинетической энергии вращения от момента инерции тел используют в инерционных аккумуляторах. Работа, совершаемая за счёт кинетической энергии вращения, равна: Примеры: гончарные круги, массивные колёса водяных мельниц, маховики в двигателях внутреннего сгорания. Маховики, применяемые в прокатных станах, имеют диаметр свыше трёх метров и массу более сорока тонн.

№ слайда 62

Описание слайда:

Задачи для самостоятельного Задачи для самостоятельного решения Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h = 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? Решите задачу динамическим и энергетическим способами. Однородный шар массы m и радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найдите: а) значения коэффициента трения, при которых скольжения не будет; б) кинетическую энергию шара через t секунд после начала движения.

№ слайда 63

Описание слайда:

№ слайда 64

Описание слайда:

«Так уж повелось издавна, что в конденсаторе, этом хранителе зарядов, существует электрическое поле, а в катушке с током - магнитное. Но повесить конденсатор в магнитном поле - такое могло прийти в голову только очень Любопытному ребенку. И не зря - он узнал нечто новое… Оказывается, - сказал себе Любопытный ребенок, - электромагнитное поле обладает атрибутами механики: плотностью импульса и момента импульса!» (Стасенко А.Л. Зачем быть конденсатору в магнитном поле? Квант, 1998, № 5). «Так уж повелось издавна, что в конденсаторе, этом хранителе зарядов, существует электрическое поле, а в катушке с током - магнитное. Но повесить конденсатор в магнитном поле - такое могло прийти в голову только очень Любопытному ребенку. И не зря - он узнал нечто новое… Оказывается, - сказал себе Любопытный ребенок, - электромагнитное поле обладает атрибутами механики: плотностью импульса и момента импульса!» (Стасенко А.Л. Зачем быть конденсатору в магнитном поле? Квант, 1998, № 5). «А что между ними - реками, тайфунами, молекулами - общего?...» (Стасенко А.Л. Вращение: реки, тайфуны, молекулы. Квант, 1997, № 5).

№ слайда 65

Описание слайда:

Читайте книги: Орир Д. Популярная физика. М.: Мир, 1964, или Купер Л. Физика для всех. М.: Мир, 1973. Т. 1. Из них вы узнаете много интересного о движении планет, колёс, волчков, вращении гимнаста на перекладине и... почему кошка всегда падает на лапы. Читайте книги: Орир Д. Популярная физика. М.: Мир, 1964, или Купер Л. Физика для всех. М.: Мир, 1973. Т. 1. Из них вы узнаете много интересного о движении планет, колёс, волчков, вращении гимнаста на перекладине и... почему кошка всегда падает на лапы. Читайте в «Кванте»: Воробьев И. Необычное путешествие. (№2, 1974) Давыдов В. Как индейцы бросают томагавк? (№ 11, 1989) Джоунс Д., Почему устойчив велосипед (№12, 1970) Кикоин А. Вращательное движение тел (№1, 1971) Кривошлыков С. Механика вращающегося волчка. (№ 10, 1971 год) Ланге В. Почему кувыркается книга (N3,2000) Томсон Дж. Дж. О динамике мяча для игры в гольф. (№8, 1990) Используйте образовательные ресурсы сети Интернет: http://physics.nad.ru/Physics/Cyrillic/mech.htm http://howitworks.iknowit.ru/paper1113.html http://class-fizika.narod.ru/9_posmotri.htm и др.

№ слайда 66

Описание слайда:

Изучите закономерности вращательного движения с помощью моделирующей программы (Java-апплета) Изучите закономерности вращательного движения с помощью моделирующей программы (Java-апплета) СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ СИММЕТРИЧНОГО ВОЛЧКА СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА (СИММЕТРИЧНОГО ВОЛЧКА) ВЫНУЖДЕННАЯ ПРЕЦЕССИЯ ГИРОСКОПА Определите собственный момент инерции методом физического маятника, используя образовательные ресурсы сети Интернет. Выполните экспериментальное исследование «Определение положения центра масс и моментов инерции тела человека относительно анатомических осей». Будьте наблюдательны!

№ слайда 67

Описание слайда:

№ слайда 68

Описание слайда:

Учебник для 10 класса с углублённым изучением физики под редакцией А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина. М. : «Просвещение», 2005. Учебник для 10 класса с углублённым изучением физики под редакцией А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина. М. : «Просвещение», 2005. Факультативный курс физики. О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов, А. В. Пономарева. М. : «Просвещение», 1977 г. Ремизов А. Н. Курс физики: Учеб. для вузов / А. Н. Ремизов, А. Я. Потапенко. М.: Дрофа, 2004. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1990. http://ru.wikipedia.org/wiki/ http://elementy.ru/trefil/21152 http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph23/theory.html Physclips . Мультимедийное введение в физику. http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/rotation.htm и др. В оформлении в учебных целях использованы иллюстративные материалы сети Интернет.